SEMANA 3

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, su-cederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C).

$$

Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ y dos eventos (o sucesos) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ con ${\displaystyle P(B)>0}$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},...,A_{i},...,A_{n}\}}$ un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ${\displaystyle P(B|A_{i})}$. Entonces, la probabilidad ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ viene dada por la expresión:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B)}}}$

donde:

• ${\displaystyle P(A_{i})}$ son las probabilidades a priori,
• ${\displaystyle P(B|A_{i})}$ es la probabilidad de ${\displaystyle B}$ en la hipótesis ${\displaystyle A_{i}}$,
• ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ son las probabilidades a posteriori.

EJEMPLOS

En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades: 

 a) La probabilidad de que los dos hijos sean varones.

 b) La probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo sean.

SOLUCION

Sean A: el evento de que los dos hijos sean varones, y B: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón. 

a) Si observamos en el espacio muestral S = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) } y consideramos que todos los eventos simples son igualmente probables, es claro que P ( A ) = 1 / 4 = 0.25 y P ( B ) = 3 / 4 = 0.75 

b) Se desea calcular P ( A ⏐B ). Utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene P ( A ⏐B ) = 3 1 3/4 1/4 P ( B ) P ( A B ) = = ∩ P ( A ⏐B ) = 1 / 3

semana 2

TEORIA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matematicas  que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.¹

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: numeros, funciones, figuras geometricas,...; y, junto con la logica, permite estudiar los fundamentos de aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

EJEMPLO:

La unión de 2 conjuntos A y B se nota como A ∪ B y es el conjunto de todos los elementos de A y B.
Ejemplo 
{1, 2} ∪ {rojo, blanco} ={1, 2, rojo, blanco}.
Algunas propiedades básicas de la unión:

* A ∪ B = B ∪ A.
* A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
* A ⊆ (A ∪ B).
* A ∪ A = A.
* A ∪ ∅ = A.
* A ⊆ B if si y solo si A ∪ B = B.

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

EJEMPLO:

 {1, 2} ∩ {rojo, blanco} = ∅.
* {1, 2, verde} ∩ {rojo, blanco, verde} = {verde}.
* {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Algunas propiedades básicas de las intersecciones:

* A ∩ B = B ∩ A.
* A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
* A ∩ B ⊆ A.
* A ∩ A = A.
* A ∩ ∅ = ∅.
* A ⊆ B if si y solo si A ∩ B = A.

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

La teoría Axiomática

La necesidad de la teoría axiomática radica en las limitaciones que existen en la definición de conjunto y en la existencia de algunas "paradojas" amplamente trabajadas por algunos de los más importantes matemáticos.
La paradoja de Russel Muestra que el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no existe.
La paradoja de Cantor Muestra que el conjunto de todos los conjuntos no puede existir.

BIBLIOGRAFIA:

• https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos