SEMANA 3

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA:

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, su-cederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C).

$$

Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ y dos eventos (o sucesos) ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ con ${\displaystyle P(B)>0}$, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

TEOREMA DE BAYES

El teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},...,A_{i},...,A_{n}\}}$ un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales ${\displaystyle P(B|A_{i})}$. Entonces, la probabilidad ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ viene dada por la expresión:

${\displaystyle P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B)}}}$

donde:

• ${\displaystyle P(A_{i})}$ son las probabilidades a priori,
• ${\displaystyle P(B|A_{i})}$ es la probabilidad de ${\displaystyle B}$ en la hipótesis ${\displaystyle A_{i}}$,
• ${\displaystyle P(A_{i}|B)}$ son las probabilidades a posteriori.

EJEMPLOS

En una familia con dos hijos, se desea calcular las siguientes probabilidades: 

 a) La probabilidad de que los dos hijos sean varones.

 b) La probabilidad de que si uno de los hijos es varón, los dos lo sean.

SOLUCION

Sean A: el evento de que los dos hijos sean varones, y B: el evento de que al menos uno de los hijos sea varón. 

a) Si observamos en el espacio muestral S = { (h, h), (h, m), (m, h), (m, m) } y consideramos que todos los eventos simples son igualmente probables, es claro que P ( A ) = 1 / 4 = 0.25 y P ( B ) = 3 / 4 = 0.75 

b) Se desea calcular P ( A ⏐B ). Utilizando la definición de probabilidad condicional se obtiene P ( A ⏐B ) = 3 1 3/4 1/4 P ( B ) P ( A B ) = = ∩ P ( A ⏐B ) = 1 / 3